فرض کنید دو گروه از متغیرهای تصادفی در اختیارند که اولین گروه متغیرهای تصادفی مستقل و غیر هم‌توزیع و دیگری متغیرهای تصادفی مستقل و هم‌توزیع هستند. در این مقاله، در حالتی که حجم دو نمونه نابرابرند و تمامی متغیرها دارای توزیع نمایی هستند، شرایط لازم و کافی برای برقراری ترتیب متوسط باقی‌مانده عمر، ترتیب نرخ خطر و ترتیب پراکندگی، میان دومین آماره مرتب دو گروه، به دست آورده می‌شود. همچنین هنگامی که متغیرها از توزیع وایبول پیروی می‌کنند، ترتیب نرخ خطر، ترتیب پراکندگی و ترتیب نسبت درستنمایی میان دومین آماره مرتب این دو گروه، مورد بررسی قرار می‌گیرد. در انتها نیز بحث و نتیجه‌گیری ارائه می شود

در این مقاله یک توزیع پنج پارامتری جدید به نام توزیع بتاوایبول هندسی که نرخ شکست آن افزایشی، کاهشی و گودالی شکل است معرفی می‌شود و به کمک چندجمله‌ای‌های استرلینگ، تابع چگالی احتمال و برخی از ویژگی‌های آن مانند تابع‌های نرخ خطر و بقا، گشتاورها و چندک، آنتروپی‌های رنی و شانون، گشتاورهای آماره‌های مرتب، میانگین مانده عمر و میانگین مانده عمر معکوس به‌دست آورده می‌شود. همچنین با روش ماکسیمم درستنمایی برآورد پارامترها ارائه و با مقایسه برازش توزیع بتا وایبول هندسی و چند زیرمدل آن به یک مجموعه داده واقعی، نشان داده می‌شود که توزیع بتا وایبول هندسی برازش بهتری به این مجموعه داده دارد.

در این مقاله، سیستم‌های سری و موازی متشکل از مولفه‌های مستقل و غیر هم‌توزیع که از مدل مقیاس پیروی می‌کنند، مورد مطالعه  قرار گرفته  و ترتیب‌های تصادفی متفاوتی میان آنها بررسی گردیده است. همچنین، نتایج به‌دست آمده در مورد سیستم‌های سری و موازی  متشکل از  مولفه‌هایی که از توزیع وایبول نمایی شده یا گامای تعمیم یافته پیروی می‌کنند، استفاده شده است. نتایج ارائه شده در این مقاله، تعمیم‌دهنده و کامل‌کننده نتایج موجود در مقالات مرتبط در این زمینه هستند.