مدل مخاطره جمعی شرکت بیمه با سرمایه اولیه ثابت وقتی فرآیند تعداد خسارت‌های رخ‌داده شده از طرف بیمه‌گذاران در یک بازه زمانی مشخص دارای توزیع پواسن با نرخ ثابت باشد، در نظر گرفته شده است. برای محاسبه احتمال ورشکستگی زمان نامتناهی از مفاهیم فرآیندهای تصادفی و معادلات دیفرانسیل استفاده می‌شود. همچنین یک فرمول صریح برای تعیین تقریب لاندبرگ در یافتن تقریبی احتمال ورشکستگی زمان نامتناهی بر حسب تابع توزیع متغیرهای تصادفی تعداد خسارت‌های بیمه‌گذاران به‌دست آمده است. با مثال‌های عددی نتایج به‌دست آمده مورد بررسی قرار گرفته‌اند و نشان داده شده که برای هر مقدار سرمایه اولیه، تقریب احتمال ورشکستگی محاسبه شده در این مقاله، نسبت به تقریب‌های به‌دست آمده برای احتمالات ورشکستگی توسط دیگر نویسندگان به مقدار واقعی آن نزدیکتر و خطای آن کمتر است.

در این مقاله، مدل مخاطره انفرادی شرکت بیمه با خسارت‌ وابسته در نظر گرفته شده و فرض می‌شود که بردار دوتایی متغیرهای تصادفی اندازه‌های خسارت از یکدیگر مستقل و دارای یک تابع چگالی توام مشترک باشند. یک رابطه بازگشتی برای احتمال ورشکستگی زمان نامتناهی بر حسب سرمایه اولیه و تابع چگالی احتمال توام متغیرهای تصادفی اندازه‌های خسارت با استفاده از نامساوی‌های احتمالی و روش استقراء محاسبه شده است. برای بررسی نتایج، مثال‌های عددی همراه با روش شبیه‌سازی در ارتباط با توزیع دم سبک پواسون دو متغیره، توزیع‌های دم سنگین لاگ نرمال و پارتو، تابع مفصل فارلی-گامبل-مورگنشترن و تابع مفصل فرانک دو متغیره ارایه شده و نیز اثر خسارت‌های با توزیع‌های دم سنگین روی احتمال ورشکستگی مورد بررسی قرار می‌گیرد.