فرایند‌های تصادفی در آمار و احتمال از اهمیت زیادی برخوردار هستند، به طوری که پیدا کردن کران‌های بالایی و پائینی برای انتگرال‌های میانگین مربعِ تصادفی به یک مسئله اساسی منجر ‌شده است. در این مقاله نشان داده می‌شود که برای فرایندهای تصادفی میانگین مربع مشتق‌پذیر، شرط تحدب در نتایج مشهور گذشته را می توان با شرایط ضعیف‌تر جایگزین کرد.

در این مقاله، ابتدا کران‌های جدیدی برای انتگرال میانگین مربعِ تصادفی کسری چپ و راست بر پایه فرآیندهای تصادفی محدب ارائه می‌شود. سپس محدوده‌ای پیشنهاد می‌شود که شامل ترکیبی خطی از انتگرال میانگین مربعِ تصادفی کسری چپ و راست است. سرانجام، نتایج قبلی ارائه شده در این موضوع بهبود داده می‌شود.