یکی از ساختارهای ساختمانی توزیع‌ها، خاصیت تک‌مدی بودن آن‌هاست که این خاصیت، مانند چولگی، کشیدگی و تقارن، در شکل تابع، قابل مشاهده است. هنگام مقایسه‌ی دو توزیع کاملا متفاوت، یک آماردان کار بسیار سختی خواهد داشت، اما اگر هر دو توزیع از یک نوع، برای مثال هر دو تک‌مدی باشند کافیست برای مقایسه مدها، پراکندگی‌ها و چولگی‌ها را مقایسه کنیم. بنابراین مفهوم تک‌مدی و تعمیم آن a-تک‌مدی بودن توزیع‌ها و مشخص‌سازی آن‌ها در مقایسه‌ی دو توزیع‌، اهمیت زیادی دارد. در طول این مقاله، مفهوم تک‌مدی و تعمیم آن یعنی a-تک‌مدی را برای متغیرهای تصادفی پیوسته و گسسته بررسی و در ادامه مفهوم یکنوایی و a-یکنوایی توزیع‌ها را که یکی دیگر از خواص توزیع‌هاست، مورد بررسی قرار می‌دهیم. همچنین در پایان، کاربرد توزیع‌های a-تک‌مدی گسسته را در یافتن کران بالای واریانس ارائه می‌دهیم.

در این

در این مقاله‎‏‏، تعداد خرابی یک سیستم منسجم‎ ‏تحت فرض این‌که طول عمر مؤلفه‌های سیستم‏، متغیرهای تصادفی گسسته‌ و وابسته‌ی غیرهم‌توزیع می‌باشند‏، مورد مطالعه قرار گرفته است. ابتدا، احتمال این‌که دقیقاً

‎‎‎‎i‎‎‎‏‎

خرابی‏،‎

‎‎i=0, ..., n-k‎‎‏‏،

در یک سیستم

‎‎k

از

‎n‎

تحت شرطی که سیستم در زمان نظارت

‎t

کار می‌کند‏،

محاسبه می‌شود. در ادامه، این نتیجه را به سایر سیستم‌های منسجم تعمیم داده شده است. علاوه بر این، نشان داده شده است که در حالت استقلال و هم‌توزیعی طول‌های عمر مؤلفه‌ها‏، احتمال به‌دست‌آمده با احتمال متناظر در حالت پیوسته به دست آمده‌ی در ادبیات موجود‏، مطابقت دارد. در نهایت با ارائه‌ی مثال‌های کاربردی‏، رفتار این احتمال در حالتی که مولفه‌ها‏ی سیستم دارای طول‌های عمر تبادل‌پذیر و لزوماً غیرهم‌توزیع می‌باشند‏، بررسی شده است