---

در مدل‌های مخاطره با وجود اطلاع از توزیع آماری متغیرهای تصادفی ‏اندازه‌های خسارت‌، احتمالات ورشکستگی و کران لاندبرگ محاسبه می‌شوند. در این مقاله برای مدل‌های مخاطره جمعی و زمان-گسسته شرکت بیمه با خسارت‌های مستقل و هم‌توزیع و دارای توزیع دم سبک، با استفاده از کران لاندبرگ احتمالات ورشکستگی زمان نامتناهی محاسبه ‏شده و شکل کلی توابع چگالی متغیرهای تصادفی اندازه‌های خسارت‌ بدست آمده‌اند. نشان داده می‌شود که برای برخی از حالت‌های خاص در مدل مخاطره زمان-گسسته توابع چگالی اندازه‌های خسارت دارای توزیع هندسی شیفت داده شده و برای مدل مخاطره جمعی همواره دارای توزیع نمایی هستند. 

ارایه مثال‌های عددی احتمالات ورشکستگی زمان نامتناهی و مقادیر شبیه‌سازی شده این احتمالات و کران لاندبرگ از نتایج پایانی این مقاله می‌باشد. 

---

ریسک به معنی شرایطی است که در آن امکان انحراف از یک نتیجه پیش بینی شده وجود دارد. بیمه یکی از روشهای مواجهه با ریسک است که منجر به انتقال تمام یا بخشی از ریسک از بیمه گذار به بیمه گر می شود. بیمه نامه ها معمولا به دو صورت بیمه زندگی و غیرزندگی دسته بندی می شوند. براساس این دسته بندی هر بیمه نامه ای که موضوع آن سلامت فرد یا افراد بیمه شده باشد، بیمه نامه اشخاص درغیر اینصورت بیمه نامه غیرزندگی خواهد بود. بسیاری از بیمه های موجود در صنعت بیمه، جزء بیمه های غیرزندگی طبقه بندی می شوند. بیمه های آتش سوزی، اتومبیل، مهندسی، باربری، نفت و انرژی از مصداقهای این بیمه هستند. تبیین و محاسبه سه موضوع در مدل های ریسک اهمیت زیادی دارد: احتمال ورشکستگی، زمان ورشکستگی و مقدار ورشکستگی.

---

شرکت­های بیمه به لحاظ ساختار تصادفی که دارند، با مدل­های ریاضی و آماری مدل­بندی می­شوند. در این مقاله، مدل مخاطره انفرادی شرکت بیمه با نرخ­های بهره متفاوت در یک دوره زمانی در نظر گرفته شده و فرض می­شود که نرخ­های بهره دارای ماتریس احتمال انتقال با حالت متناهی و شمارا باشند. با استفاده از احتمال شرطی روی تابع چگالی اولین خسارت، احتمالات ورشکستگی زمان متناهی و نامتناهی محاسبه شده­اند. همچنین با استفاده از روش استقرای ریاضی کران­های بالای احتمال ورشکستگی زمان نامتناهی برای توزیع­های دم سبک به­دست آمده­اند. در مثال­های عددی، احتمالات ورشکستگی برای توزیع­های دم سنگین با احتمالات داده شده در بازیاری (2022) برای مدل مخاطره انفرادی کلاسیک مقایسه شده و نیز احتمالات ورشکستگی زمان نامتناهی برای توزیع­های دم سبک با مقادیر کران لاندبرگ مقایسه می­شوند. نتایج نشان می­دهند که وجود نرخ­های بهره دارای ماتریس احتمال انتقال با حالت متناهی باعث کاهش احتمالات ورشکستگی خواهند شد.